Muy simple, primero hay que crear una cuenta para tu organización en Paypal. Paypal es la empresa líder para aceptar pagos de terceros o manejar dinero por internet, si querés saber más sobre Paypal mirá este post. Desde tu cuenta en Paypal vas a poder crear facilmente un boton para recibir donaciones para incluir en tu web que se verá como éste:

Las donaciones mediante PayPal es un método que permite aceptar dinero por tarjeta de crédito y por cuenta bancaria a muy bajo costo. La creación de la cuenta en Paypal no tiene gasto de activación ni de mantenimiento mensual. Los donantes podrán elegir el importe de la donación, desde $1 hasta lo que ellos quieran.

En la página de web en donde vas a poner el boton podrías incluir algo así:

TuWeb.com es un sitio web no comercial y sin fines de lucro. Nuestro trabajo lo presentamos en forma gratuita a visitantes de todo el mundo, y no recibimos ninguna retribución económica por ello.

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¿En qué usaremos el dinero donado?
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Para informarte más sobre como crear tu cuenta en Paypal y los servicios que te ofrecen hacé click aquí.